Ang isang rational function ay isang equation na kumukuha ng form na y = N (x) / D (x) kung saan ang N at D ay mga polynomial. Ang pagtatangka na mag-sketch ng isang tumpak na grap ng isa-isang kamay ay maaaring maging isang komprehensibong pagsusuri ng marami sa pinakamahalagang mga paksa sa matematika ng high school mula sa pangunahing algebra hanggang sa kaugalian na calculus. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Mga hakbang
Hakbang 1. Hanapin ang y intercept
Itakda lamang ang x = 0. Lahat ngunit ang pare-pareho ng mga term na nawala, umaalis sa y = 5/2. Ang pagpapahayag nito bilang isang pares ng coordinate, (0, 5/2) ay isang punto sa grap. Grap ng puntong iyon.
Hakbang 2. Hanapin ang pahalang na asymptote
Mahabang hatiin ang denominator sa numerator upang matukoy ang pag-uugali ng y para sa malalaking ganap na halaga ng x. Sa halimbawang ito, ipinapakita ng paghahati na y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Para sa malaking positibo o negatibong mga halagang x, 17 / (8 x + 4) ay papalapit sa zero, at tinatayang ng grap ang linya na y = (1/2) x - (7/4). Gamit ang isang dashing o gaanong iginuhit na linya, i-grap ang linyang ito.
- Kung ang degree ng numerator ay mas mababa sa degree ng denominator, walang paghahati na dapat gawin, at ang asymptote ay y = 0.
- Kung deg (N) = deg (D), ang asymptote ay isang pahalang na linya sa ratio ng mga nangungunang coefficients.
- Kung deg (N) = deg (D) + 1, ang asymptote ay isang linya na ang slope ay ang ratio ng mga nangungunang coefficients.
- Kung deg (N)> deg (D) + 1, pagkatapos ay para sa malaking halaga ng | x |, y mabilis na napupunta sa positibo o negatibong kawalang-hanggan bilang isang quadratic, cubic, o mas mataas na degree na polynomial. Sa kasong ito, marahil ay hindi kapaki-pakinabang upang tumpak na i-graph ang kabuuan ng dibisyon.
Hakbang 3. Hanapin ang mga zero
Ang isang nakapangangatwiran na pagpapaandar ay may isang zero kapag ito ay bilang ng numero ay zero, kaya itakda ang N (x) = 0. Sa halimbawa, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Ang diskriminante ng quadratic na ito ay b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Dahil ang diskriminante ay negatibo, ang N (x), at dahil dito f (x), ay walang tunay na mga ugat. Ang grap ay hindi tumatawid sa x -axis. Kung may anumang nahanap na mga zero, idagdag ang mga puntong iyon sa grap.
Hakbang 4. Hanapin ang mga patayong asymptotes
Ang isang patayong asymptote ay nangyayari kapag ang denominator ay zero. Ang pagtatakda ng 4 x + 2 = 0 ay nagbibigay ng patayong linya x = -1/2. I-grap ang bawat patayong asymptote na may isang ilaw o may gitnang linya. Kung ang ilang halaga ng x ay gumagawa ng parehong N (x) = 0 at D (x) = 0, maaaring mayroon o maaaring maging isang patayong asymptote doon. Bihira ito, ngunit tingnan ang mga tip para sa kung paano ito makitungo kung nangyayari ito.
Hakbang 5. Tingnan ang natitirang bahagi ng paghati sa hakbang 2
Kailan ito positibo, negatibo, o zero? Sa halimbawa, ang bilang ng natitira ay 17 na palaging positibo. Ang denominator, 4 x + 2, ay positibo sa kanan ng patayong asymptote at negatibo sa kaliwa. Nangangahulugan ito na ang grap ay lumalapit sa linear asymptote mula sa itaas para sa malaking positibong halaga ng x at mula sa ibaba para sa malalaking negatibong halaga ng x. Dahil ang 17 / (8 x + 4) ay hindi maaaring maging zero, ang grap na ito ay hindi kailanman tumatawid sa linya na y = (1/2) x - (7/4). Huwag magdagdag ng anuman sa grap ngayon, ngunit pansinin ang mga konklusyong ito para sa paglaon.
Hakbang 6. Hanapin ang lokal na ekstrema
Ang isang lokal na sukat ay maaaring mangyari tuwing N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Sa halimbawa, N '(x) = 4 x - 6 at D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Pagpapalawak, pagsasama ng mga termino, at paghahati ng 4 na dahon x 2 + x - 4 = 0. Ipinapakita ng quadratic formula ang mga ugat na malapit sa x = 3/2 at x = -5/2. (Ang mga ito ay naiiba sa pamamagitan ng tungkol sa 0.06 mula sa eksaktong mga halaga, ngunit ang aming grap ay hindi magiging tumpak na sapat upang mag-alala tungkol sa antas ng detalye na iyon. Ang pagpili ng isang disenteng makatuwirang paglalapit ay ginagawang mas madali ang susunod na hakbang.)
Hakbang 7. Hanapin ang y -mga halaga ng bawat lokal na sukat
I-plug ang x -values mula sa nakaraang hakbang pabalik sa orihinal na nakapangangatwiran na pag-andar upang hanapin ang kaukulang y -values. Sa halimbawa, f (3/2) = 1/16 at f (-5/2) = -65/16. Idagdag ang mga puntong ito, (3/2, 1/16) at (-5/2, -65/16), sa grap. Dahil tinatayang namin sa nakaraang hakbang, hindi ito ang eksaktong minima at maxima, ngunit malamang malapit na. (Alam namin ang (3/2, 1/16) ay napakalapit sa lokal na minimum. Mula sa hakbang 3, alam namin na ang y ay palaging positibo kapag x> -1/2 at nakakita kami ng halagang kasing liit ng 1/16, kaya't kahit papaano sa kasong ito, ang error ay maaaring mas mababa sa kapal ng linya.)
Hakbang 8. Ikonekta ang mga tuldok at maayos na palawakin ang grap mula sa mga kilalang puntos sa mga asymptote na nangangalaga upang lapitan sila mula sa tamang direksyon
Mag-ingat na huwag tawirin ang x -axis maliban sa mga puntong natagpuan na sa hakbang 3. Huwag tawirin ang pahalang o linear na asymptote maliban sa mga puntong natagpuan na sa hakbang 5. Huwag baguhin mula sa pataas na pagdulas hanggang sa pababang pagdulas maliban sa ang matinding natagpuan sa nakaraang hakbang.
Video - Sa pamamagitan ng paggamit ng serbisyong ito, maaaring ibahagi ang ilang impormasyon sa YouTube
Mga Tip
- Ang ilan sa mga hakbang na ito ay maaaring kasangkot sa paglutas ng isang mataas na degree na polynomial. Kung hindi mo mahahanap ang eksaktong mga solusyon sa pamamagitan ng pag-factorize, mga formula, o iba pang mga paraan, pagkatapos ay tantyahin ang mga solusyon gamit ang mga diskarteng pang-numero tulad ng pamamaraan ni Newton.
- Kung susundin mo ang mga hakbang sa pagkakasunud-sunod kadalasan ay hindi kinakailangan na gumamit ng pangalawang mga derivative test o katulad na mga potensyal na kumplikadong pamamaraan upang matukoy kung ang mga kritikal na halaga ay lokal na maxima, lokal na minima, o hindi. Subukang gamitin ang impormasyon mula sa mga nakaraang hakbang at munting lohika muna.
- Kung sinusubukan mong gawin ito sa mga pamamaraang precalculus lamang, maaari mong palitan ang mga hakbang tungkol sa paghahanap ng lokal na extrema sa pamamagitan ng pag-compute ng maraming karagdagang (x, y) na mga order na pares sa pagitan ng bawat pares ng asymptotes. Bilang kahalili, kung wala kang pakialam kung bakit ito gumagana, walang dahilan kung bakit hindi maaaring kunin ng isang precalculus na estudyante ang hango ng isang polynomial at lutasin ang N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
-
Sa mga bihirang kaso, ang numerator at denominator ay maaaring magkaroon ng isang karaniwang hindi kadahilanan na kadahilanan. Kung sinusunod mo ang mga hakbang, lalabas ito bilang isang zero at isang patayong asymptote sa parehong lugar. Imposible iyan at ang totoong nangyayari ay isa sa mga sumusunod:
- Ang zero sa N (x) ay may mas mataas na multiplicity kaysa sa zero sa D (x). Ang grap ng f (x) ay papalapit sa zero sa puntong ito, ngunit hindi natukoy doon. Ipahiwatig ito sa isang bukas na bilog sa paligid ng punto.
- Ang zero sa N (x) at ang zero sa D (x) ay may pantay na multiplicity. Lumapit ang grap sa ilang di-zero point para sa halagang ito ng x, ngunit hindi natukoy doon. Muli ipahiwatig ito sa isang bukas na bilog.
- Ang zero sa N (x) ay may mas mababang multiplicity kaysa sa zero sa D (x). Mayroong isang patayong asymptote dito.
